自然数の各桁を足したときの桁数 - 「Javaを復習する初心者」が一言

ブログの記事「9で割り切れる数の性質について - OGATA Tetsuji の数学ブログ」を読んで自分なりに以下の疑問について考えてみました。

命題と証明
- 命題
- 命題の証明
  - 等号が成り立つ具体例
より一般的な命題
- 命題
- 証明
- 具体例

「自然数の各桁を足したとき、その桁数は元の自然数の桁数より減るのか？」

1桁の自然数の場合は、各桁の和（自然数そのもの）は1桁です。

2桁の自然数の場合はどうでしょうか？各桁の和は、11の場合、 $1 + 1 = 2$ で1桁ですが、19の場合、 $1 + 9 = 10$ で2桁です。

3桁の自然数の場合はどうでしょうか？999の場合、 $9 + 9 + 9 = 27$ で2桁です。3桁以上の自然数については、自然数の各桁を足したとき、もとの桁数より減るという予測にたどり着きました。

そこで、各桁の和は元の自然数とどのように比較できるか？という疑問が浮かび、ひとつの命題を思いつきました。

命題と証明

$N (\ge 1)$ 桁の自然数 $x$ を $\displaystyle \sum_{n=0}^{N-1}10^n a_n$ と表すことにします。
$a_{n}$ は各けたの数字です。つまり、 $0 \le a_{n} \le 9$ です。
この表記を利用して、以下の命題を証明します。

命題

$N \geq 3$ かつ $a_{N-1}, a_{N-2} \neq 0$ ならば、次の不等式が成り立つ。
${ \begin{eqnarray} \sum_{n=0}^{N-2}10^n a_n \geq \sum_{n=0}^{N-1}a_n \tag{1} \end{eqnarray} }$

等号は $N=3, a_1=1, a_2=9$ のとき成り立つ。

命題の説明: 命題の数式(1)の左辺は自然数から一番上の桁を取り除いた数です。例えば、456の場合は56です。右辺は各桁の和です。456の場合は15です。また、命題の右辺は元の自然数より一桁少ないというのが特徴です。

命題の証明

${ \begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^{N-2}10^n a_n - \sum_{n=0}^{N-1}a_n & = & (a_{N-2}10^{N-2} + \cdots + a_{0}) - (a_{N-1} + \cdots + a_{0}) \\ & = & -a_{N-1} + (a_{N-2}10^{N-2} - a_{N-2}) + \cdots + 9a_{1} \\ & \geq & 9a_{1} - a_{N-1} \\ & \geq & 0 \end{eqnarray*} }$

ここで、最後の等号が成り立つのは、 $N=3, a_{1} = 1, a_{N-1}=9$ のときです。

(証明終わり)

等号が成り立つ具体例

自然数910は各桁の和が10です。また、一番上の桁を取り除いた数が10です。

より一般的な命題

係数についての条件、 $a_{N-2} \neq 0$ を取り除くと上記の命題は反例があります。例えば、901です。しかし、桁数に関しては以下の命題が成り立ちます。

命題

$N \geq 3$ かつ $a_{N-1}\neq 0$ ならば $\displaystyle \sum_{n=0}^{N-1}a_n$ の桁数は $x$ の桁数より小さい。

証明

$a_{N-2}\neq 0$ の場合は最初の命題で証明済みです。

$a_{N-2} = 0$ の場合、 $y = \displaystyle \sum_{n=0}^{N-1}a_n + 10^{N-2}$ とすると、 $y$ の各桁の和 > $x$ の各桁の和です。最初の命題を適応すると、 $y$ の各桁の和は $y$ の桁数より小さいので、 $x$ の各桁の和も $y$ の桁数より小さいです。ここで、 $y$ は $x$ と桁数が同じなので、 $x$ の桁数 > $x$ の各桁の和が成り立ちます。

具体例

簡単な例は901です。各桁の和は10で、元の数より桁数が小さくなってます。